線形代数学は，数学諸分野のみならず，自然科学，工学などの領域の共通の基礎である．この講義では１回生で学習する「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」をさらに発展させて，行列の対角化、ジョルダン標準形等，線形代数のより進んだ内容について講義する。

・行列の固有値問題の意味を理解するとともに，対角化などの手法を種々の局面に活用できるようになる．
・ジョルダン標準形の意味を理解するとともに，標準形が種々の局面に活用できるようになる．
・上記を通じてベクトル空間や行列の扱いに習熟する．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全１５回にて行う．

１．行列の対角化【５〜６週】：　
固有値問題， 固有空間分解
正規行列のユニタリ行列による対角化
正値対称（エルミート）行列
二次形式

２．ジョルダン標準形【６〜７週 】：
最小多項式，一般固有空間分解
ジョルダン標準形，ジョルダン分解*
ジョルダン標準形の応用：
行列のべき，行列の指数関数，線形常微分方程式との関係*など

３．関連するトピック【１〜３週】
行列の分解定理（極分解，特異値分解など）
単因子論
双対空間，商空間
一般逆行列、連立方程式の数値解法
などの中から担当者が選んで解説する．

アステリスク * はオプション

「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」の内容は既知とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

Based on the knowledge of Calculus with Exercises A/B and Linear Algebra with Exercises A/B or Calculus A/ B and Linear Algebra A/B, this course explains ordinary differential equations. Starting from the basic solutions techniques (such as separation of variables and integrating factors) for differential equations, the course introduces the second order linear differential equations and their solution. Differential equations are studied in context of modelling of various physical situations (for example, vibrations, mixing problem, population dynamics, etc.).

To learn the different types of differential equations and their solution methods.

1. Elementary methods of solution (6 weeks)
- Separation of variables, linear first order differential equations, total differential equations (exact differential equations) and integrating factors
2. Existence and uniqueness of the solution of initial value problems (4 weeks)
- Space of continuous functions and its properties (normed spaces, completeness), iterated approximation, Cauchy-Lipschitz's theorem and the connection of solution
3. Linear differential equations (4 weeks)
- Space of solutions of homogeneous equations, variation of parameters, exponential function for matrices and Wronskian determinant.
4. Feedback (1 week)

To understand Calculus with Exercises A/B and Linear Algebra with Exercises A/B or Calculus A/B and Linear Algebra A/B.

Weekly submission of class examples, class participation and homework (20%), Snap quizzes (15%), Final examination(65%).

Students are encouraged to do assigned homework related to the classes.

The content of this course is independent of Advanced Calculus I in the 1st semester.

　　直交する3方向から見て正方形に見える立体は，どんな形でしょうか？

　立方体はもちろんそうですが，正四面体をはじめとするさまざまな多面体がこの性質を満たしてます。さらに，シェルピンスキー四面体などのフラクタル立体も，この性質を持っています。このような立体をイマジナリーキューブとよぶことにします。担当者はイマジナリーキューブ，特に，フラクタル・イマジナリーキューブに関して数学的な研究を行う中で，美しい形や数学的に美しい性質に出会い，その立体としての美しさと数学的な面白さを一般の人に伝えるべく，イマジナリーキューブに基づいたパズルや立体オブジェを作成し，ワークショップなどの活動を行ってきました。中でも，昨年は京都大学総合博物館にて特別展を行い，期間中に約一万人の来館者がありました。吉田南総合図書館に，その展示物の一つが置いてあるのでご覧ください。
　この授業では，パズルや立体オブジェを用いながら，イマジナリーキューブとそれに関連する数学のお話をします。目的は二つあります。一つは，こんな簡単なところにもこんなに面白い数学が存在することを知り，ものごとを数学的に考える楽しさを感じてもらうことです。もう一つは，イマジナリーキューブやそれと関連した立体を通して，数学の理解を深めることです。立体は回転させていろんな方向から見て美しさを鑑賞しますが，回転は線形変換の基本ですし，美しさの元となる立体の対称性は群論を通じて構造が見えてきます。さらに，この授業ではフラクタル立体について扱いますが，フラクタル立体は，見た目の美しさに加えて，さまざまな数学的概念の勉強につながります。立体図形は，見て触って理解できる，数学そのものです。さらに，4次元のイマジナリーキューブやその他の立体についても話をしましょう。このような数学を理解した上で立体を見ると，今までと違う姿が見えてくるはずです。

イマジナリーキューブをはじめとする立体図形に関する理解を深め，数学的な眼で見れるようになる。
立体図形との関係で，線形代数，群論，フラクタル，組合せ理論，高次元空間などの数学について勉強し，理解を深める。
数学に積極的に接し，数学を楽しむ心を身につける。

イマジナリーキューブなどの立体図形を用いて授業を行います。イマジナリーキューブという特別な対象を扱いますが，普通の数学の理解につながるような話をします。

3D プリンタで作成した立体をいくつか差し上げますので，手にとって自分で確かめながら勉強を進めてください。

1. イマジナリーキューブ・パズル --- 公理的な幾何学と解析的な幾何学について
2. 極小凸イマジナリーキューブはいくつある？ --- 凸図形，立体の数え上げ
3. 立体の回転 --- 線形代数入門，特に，特殊直交変換（すなわち回転）について
4. その立体の対称性はいくつある? --- 正多面体，半正多面体と，それらの回転対称性
5. 回転と回転を合成すると？ --- 群論入門
6. 立体の回転構造は何種類ある? --- バーンサイドの定理と数え上げ
7. タイリングと半正多面体　　　--- 平面幾何，球面幾何，そして，双曲幾何
8. 4 次元の立体 --- 4 次元の多面体，特に，正8胞体について
9. フラクタル立体について1
10. フラクタル立体について2
11.フラクタル立体の影1 --- フラクタル構造と数の展開の関係
12. フラクタル立体の影2 --- self-affine set とタイリング
13. シェルピンスキー四面体と3次元準周期タイリングについて
14. こんなところにもフラクタル --- ゲームとフラクタルとセル・オートマトン
15　フィードバック

1 話完結を目指しますが，話題によっては次の時間にずれこむことがあります。

特にありませんが，線形代数の話が出てきます。線形代数については基本的なことからお話をしますが，すでに履修しているか履修中であると，より深く理解できます。
数学や立体図形に興味のある学生を歓迎します。
総合人間学部の学生は，学部科目「計算と位相」を受講してください。

毎回，簡単なレポートを書いてもらいます(50%)。
最後に，追加でレポートを課して，到達目標の達成度をみます(50%)

配布された立体を様々な角度から観察し、その美しさを鑑賞すると同時に，対称性や影の形について考察してください。
日頃から、身の回りにある立体の構造に興味をもってください。

パズルなどの教材を利用するため，人数制限を行います。（40人程度)

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Bでは，微分積分学（講義・演義）Aに続いて一変数関数の微分積分の理解をさらに深めた後に，多変数関数の微分積分について学ぶ．

　一変数および多変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学的解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題練習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．級数【３〜５週】：
　無限級数（収束の判定法，絶対収束と条件収束）
　べき級数（収束半径，項別微積分）　
　関数列・関数項級数*（一様収束，項別微積分）

２．平面および空間の点集合【２週】：
　距離，点列の収束，開集合・閉集合
　連続関数

３．多変数関数の微分法【４〜５週】：
　偏微分，微分（全微分）可能性，一次近似，接平面，勾配ベクトル
　合成関数の微分（連鎖律），ヤコビ行列，ヤコビ行列式
　テイラーの定理，極値問題
　条件付き極値問題（陰関数定理）

４．多変数関数の積分法【４〜５週】：
　重積分，累次積分，変数変換公式，面積・体積
　広義積分，ガンマ関数とベータ関数

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の微分積分学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また線形代数学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Bでは，微分積分学（講義・演義）Aに続いて一変数関数の微分積分の理解をさらに深めた後に，多変数関数の微分積分について学ぶ．

　一変数および多変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学的解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題練習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．級数【３〜５週】：
　無限級数（収束の判定法，絶対収束と条件収束）
　べき級数（収束半径，項別微積分）　
　関数列・関数項級数*（一様収束，項別微積分）

２．平面および空間の点集合【２週】：
　距離，点列の収束，開集合・閉集合
　連続関数

３．多変数関数の微分法【４〜５週】：
　偏微分，微分（全微分）可能性，一次近似，接平面，勾配ベクトル
　合成関数の微分（連鎖律），ヤコビ行列，ヤコビ行列式
　テイラーの定理，極値問題
　条件付き極値問題（陰関数定理）

４．多変数関数の積分法【４〜５週】：
　重積分，累次積分，変数変換公式，面積・体積
　広義積分，ガンマ関数とベータ関数

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の微分積分学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また線形代数学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Bでは，ベクトル空間，線形写像などの基礎概念を体系的に学ぶと共に，それらの概念を行列に応用してさらに理解を深める．

　ベクトル空間，線形写像などの抽象概念を体系的に理解すること，ならびにそれを通してベクトル，行列の理論的な基礎を固めることを目標とする．その際には，ベクトルや行列等のより進んだ取り扱いに習熟することも目指す．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画、内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 抽象ベクトル空間【５〜６週】：
　一次結合，一次独立，基底，次元，部分空間，線形写像，核と像
　線形写像と行列，基底の変換，直和

2. 計量ベクトル空間【３〜４週】：
　内積，正規直交基底，直交行列，ユニタリ行列，直交補空間

3. 固有値と行列の対角化【５〜６週】：
　固有値と固有ベクトル，固有多項式，固有空間
　行列の対角化，行列の上三角化，ケーリー.ハミルトンの定理
　対称行列の直交行列による対角化
　二次形式*
　エルミート行列のユニタリ行列による対角化*

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の線形代数学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また微分積分学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Bでは，ベクトル空間，線形写像などの基礎概念を体系的に学ぶと共に，それらの概念を行列に応用してさらに理解を深める．

　ベクトル空間，線形写像などの抽象概念を体系的に理解すること，ならびにそれを通してベクトル，行列の理論的な基礎を固めることを目標とする．その際には，ベクトルや行列等のより進んだ取り扱いに習熟することも目指す．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画、内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 抽象ベクトル空間【５〜６週】：
　一次結合，一次独立，基底，次元，部分空間，線形写像，核と像
　線形写像と行列，基底の変換，直和

2. 計量ベクトル空間【３〜４週】：
　内積，正規直交基底，直交行列，ユニタリ行列，直交補空間

3. 固有値と行列の対角化【５〜６週】：
　固有値と固有ベクトル，固有多項式，固有空間
　行列の対角化，行列の上三角化，ケーリー.ハミルトンの定理
　対称行列の直交行列による対角化
　二次形式*
　エルミート行列のユニタリ行列による対角化*

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の線形代数学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また微分積分学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Bでは，微分積分学（講義・演義）Aに続いて一変数関数の微分積分の理解をさらに深めた後に，多変数関数の微分積分について学ぶ．

　一変数および多変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学的解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題練習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．級数【３〜５週】：
　無限級数（収束の判定法，絶対収束と条件収束）
　べき級数（収束半径，項別微積分）　
　関数列・関数項級数*（一様収束，項別微積分）

２．平面および空間の点集合【２週】：
　距離，点列の収束，開集合・閉集合
　連続関数

３．多変数関数の微分法【４〜５週】：
　偏微分，微分（全微分）可能性，一次近似，接平面，勾配ベクトル
　合成関数の微分（連鎖律），ヤコビ行列，ヤコビ行列式
　テイラーの定理，極値問題
　条件付き極値問題（陰関数定理）

４．多変数関数の積分法【４〜５週】：
　重積分，累次積分，変数変換公式，面積・体積
　広義積分，ガンマ関数とベータ関数

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の微分積分学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また線形代数学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Bでは，微分積分学（講義・演義）Aに続いて一変数関数の微分積分の理解をさらに深めた後に，多変数関数の微分積分について学ぶ．

　一変数および多変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学的解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題練習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．級数【３〜５週】：
　無限級数（収束の判定法，絶対収束と条件収束）
　べき級数（収束半径，項別微積分）　
　関数列・関数項級数*（一様収束，項別微積分）

２．平面および空間の点集合【２週】：
　距離，点列の収束，開集合・閉集合
　連続関数

３．多変数関数の微分法【４〜５週】：
　偏微分，微分（全微分）可能性，一次近似，接平面，勾配ベクトル
　合成関数の微分（連鎖律），ヤコビ行列，ヤコビ行列式
　テイラーの定理，極値問題
　条件付き極値問題（陰関数定理）

４．多変数関数の積分法【４〜５週】：
　重積分，累次積分，変数変換公式，面積・体積
　広義積分，ガンマ関数とベータ関数

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の微分積分学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また線形代数学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Bでは，ベクトル空間，線形写像などの基礎概念を体系的に学ぶと共に，それらの概念を行列に応用してさらに理解を深める．

　ベクトル空間，線形写像などの抽象概念を体系的に理解すること，ならびにそれを通してベクトル，行列の理論的な基礎を固めることを目標とする．その際には，ベクトルや行列等のより進んだ取り扱いに習熟することも目指す．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画、内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 抽象ベクトル空間【５〜６週】：
　一次結合，一次独立，基底，次元，部分空間，線形写像，核と像
　線形写像と行列，基底の変換，直和

2. 計量ベクトル空間【３〜４週】：
　内積，正規直交基底，直交行列，ユニタリ行列，直交補空間

3. 固有値と行列の対角化【５〜６週】：
　固有値と固有ベクトル，固有多項式，固有空間
　行列の対角化，行列の上三角化，ケーリー.ハミルトンの定理
　対称行列の直交行列による対角化
　二次形式*
　エルミート行列のユニタリ行列による対角化*

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の線形代数学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また微分積分学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Bでは，ベクトル空間，線形写像などの基礎概念を体系的に学ぶと共に，それらの概念を行列に応用してさらに理解を深める．

　ベクトル空間，線形写像などの抽象概念を体系的に理解すること，ならびにそれを通してベクトル，行列の理論的な基礎を固めることを目標とする．その際には，ベクトルや行列等のより進んだ取り扱いに習熟することも目指す．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画、内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 抽象ベクトル空間【５〜６週】：
　一次結合，一次独立，基底，次元，部分空間，線形写像，核と像
　線形写像と行列，基底の変換，直和

2. 計量ベクトル空間【３〜４週】：
　内積，正規直交基底，直交行列，ユニタリ行列，直交補空間

3. 固有値と行列の対角化【５〜６週】：
　固有値と固有ベクトル，固有多項式，固有空間
　行列の対角化，行列の上三角化，ケーリー.ハミルトンの定理
　対称行列の直交行列による対角化
　二次形式*
　エルミート行列のユニタリ行列による対角化*

アステリスク * はオプション

特になし

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は3月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

同一クラスにおいて前期開講の線形代数学（講義・演義）Aとの連続した履修を推奨する．また微分積分学（講義・演義）B を並行して受講することが望ましい．

「微分積分学（講義・演義）A, B」および「線形代数学（講義・演義）A, B」，または「微分積分学A, B」および「線形代数学A, B」を前提として，様々な自然科学の学習において基礎知識として必要となる，常微分方程式の数学的基礎について講義をする．主に，定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての解法，一般の線形微分方程式の解空間構造などの基本的性質，常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項について講ずる.

・定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての代表的な解法を修得する
・一般の線形常微分方程式の解空間の構造などの基本的性質について理解する
・常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項を理解する

以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．導入【１週】
微分方程式とは何か，物理現象などに現れる微分方程式の具体例
２．初等解法【３週】
変数分離，一階線形微分方程式，定数変化法，全微分形，積分因子，級数解法の例
３．線形微分方程式【６〜７週】
線形微分方程式（変数係数を含む）の解の空間，基本解と基本行列，ロンスキー行列，定数変化法，線形微分方程式の解法，行列の指数関数とその計算（射影行列を含む），2次元定数係数線形微分方程式の相平面図
４．常微分方程式の基本定理【３〜４週】
連続関数全体の空間とその性質（ノルム空間，完備性），逐次近似法，常微分方程式の解の存在と一意性（コーシー・リプシッツの定理），初期値に対する連続性，解の延長

特になし

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

「微分積分学（講義・演義）A, B」および「線形代数学（講義・演義）A, B」，または「微分積分学A, B」および「線形代数学A, B」を前提として，様々な自然科学の学習において基礎知識として必要となる，常微分方程式の数学的基礎について講義をする．主に，定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての解法，一般の線形微分方程式の解空間構造などの基本的性質，常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項について講ずる.

・定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての代表的な解法を修得する
・一般の線形常微分方程式の解空間の構造などの基本的性質について理解する
・常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項を理解する

以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．導入【１週】
微分方程式とは何か，物理現象などに現れる微分方程式の具体例
２．初等解法【３週】
変数分離，一階線形微分方程式，定数変化法，全微分形，積分因子，級数解法の例
３．線形微分方程式【６〜７週】
線形微分方程式（変数係数を含む）の解の空間，基本解と基本行列，ロンスキー行列，定数変化法，線形微分方程式の解法，行列の指数関数とその計算（射影行列を含む），2次元定数係数線形微分方程式の相平面図
４．常微分方程式の基本定理【３〜４週】
連続関数全体の空間とその性質（ノルム空間，完備性），逐次近似法，常微分方程式の解の存在と一意性（コーシー・リプシッツの定理），初期値に対する連続性，解の延長

特になし

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

「微分積分学（講義・演義）A, B」および「線形代数学（講義・演義）A, B」，または「微分積分学A, B」および「線形代数学A, B」を前提として，様々な自然科学の学習において基礎知識として必要となる，常微分方程式の数学的基礎について講義をする．主に，定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての解法，一般の線形微分方程式の解空間構造などの基本的性質，常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項について講ずる.

・定数係数線形常微分方程式をはじめとする初等的に解くことのできる微分方程式についての代表的な解法を修得する
・一般の線形常微分方程式の解空間の構造などの基本的性質について理解する
・常微分方程式の数学的理論の基盤となる解の存在と一意性とそれに関連する事項を理解する

以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．導入【１週】
微分方程式とは何か，物理現象などに現れる微分方程式の具体例
２．初等解法【３週】
変数分離，一階線形微分方程式，定数変化法，全微分形，積分因子，級数解法の例
３．線形微分方程式【６〜７週】
線形微分方程式（変数係数を含む）の解の空間，基本解と基本行列，ロンスキー行列，定数変化法，線形微分方程式の解法，行列の指数関数とその計算（射影行列を含む），2次元定数係数線形微分方程式の相平面図
４．常微分方程式の基本定理【３〜４週】
連続関数全体の空間とその性質（ノルム空間，完備性），逐次近似法，常微分方程式の解の存在と一意性（コーシー・リプシッツの定理），初期値に対する連続性，解の延長

特になし

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

This class is an introduction to calculus for those who did not study "Mathematics III (of the Japanese high school standard)".

The goal of the class is to solve problems of the same level with those in the entrance examination for science students. An additional goal of this course is to give a chance to the students to present and discuss mathematics in English.

The course will cover the following topics, and each of them is read during 3-4 weeks:
1. Limit of series and continuous functions
2. Differentiation of elementary functions (for example: sine, cosine, exponential etc.)
3. Brief introduction of the Riemann integral and differential equations
4. Applications.

Total：14 classes, 1 Feedback session

特になし

The evaluation of the course will take into account the following criteria:
-homework (40%)
-presentation (20%)
-final report (40%)

Exercises are given in class and students are required to solve them for
clear understanding of the topics in class.

High school text book "Mathematics III (高等学校 数学 III)" based on the Japanese high school standard is useful to understand of the subject of the class.

Office hours are not assigned and it is advisable to make comments willingly during and after the class.

In this course, we will study certain topics in elementary number theory, including (but not limited to) divisibility, congruences, quadratic reciprocity, and quadratic forms. Some abstract algebra will be introduced in class as a tool of number theory.

The class is meant to help students of all disciplines improve their knowledges in number theory and enhance their mathematical sophistication.

Below are the contents and schedules of the course. The lectures, as well as their orders, may be modified, depending on students' backgrounds and understanding of the course materials.

(1) Introduction (1 week)
-Some basics in set theory and logic, motivating examples and conjectures.
(2) Divisibility (3 weeks)
-The division algorithm, prime numbers;
-The fundamental theorem of arithmetic.
(3) Congruences (4 weeks)
-Congruence relations;
-Fermat's little theorem and Euler's generalization;
-The Chinese Remainder theorem, Hensel's lemma;
(4) Quadratic reciprocity (2 weeks)
-Legendre symbols, the reciprocity law;
-Gaussian integers, two squares theorem.
(5) Binary quadratic forms (4 weeks)
-The Jacobi symbols;
-Equivalence of binary quadratic forms.
(6) Feedback (1 week)

特になし

The evaluation consists of three weighted parts:
-Discussion performance in class (20%).
-Presentation (60%): Each student reviews a mathematical topic assigned by the instructor. Such a topic is typically a section from the textbook below.
-Report (20%): Your report covers the details of your presentation. Each student needs to email the report to the instructor no later than Friday of Week 15.

Along with preparation and review, students are encouraged to form study groups.

少人数のセミナーにより、応用数学（特に解析学）に関する文献等の輪講、あるいは数値計算演習・研究発表等を通じて、応用数学の基礎について学ぶことを目的とする。

応用数学・応用解析学に対する理解を深めると共に、数学を学修する方法・態度を身につけることができる。

担当者毎に応用数学・応用解析学に関係する話題の中から適当なテーマを受講希望者と相談のうえ決め、担当者毎の少人数のセミナーを独立に行なう。
具体的には、微分方程式・力学系・カオス・フラクタル・数値解析・Fourier解析・流体力学などに関連するテキスト・論文等の輪講による精読、あるいは場合によってはテキストの内容に基づく数値計算演習等を行なう。何れの場合も２回生前期レベルまでの微積分(多変数を含む)と線型代数の知識を前提とする。

輪講するテキストあるいは論文等は、履修希望者の希望も考慮の上、第１回目の授業時に決定する。指定された初回の授業に届けもなく欠席した場合は、履修を認めないことがある。

この授業は受講者自身の発表に基づき実施し、フィードバックを含め全15回で行うものする。

履修希望者は開講前の９月下旬に出される掲示を必ず確認すること。

1回生で学修する程度の微積分と線形代数の内容は既知を前提とする。2回生科目の「微分積分学続論」の並行履修を強く勧める。

原則として授業時の発表をもとに平常点により成績評価を行なう。なお、授業の展開によってはレポート提出を課すこともあるが、その詳細は授業時に指示する。
成績評価の素点は、98点、88点、78点、68点、50点によって表記する。

輪講テキストの予習は前提とする。

セミナーという授業形態の性格上、少人数による密度の高い教育を行ないたいと考えている。このため、各セミナーの受講生は高々５名程度となるように開講時に人数調整を行なう。独立した複数のセミナーが開講されるが、受講者はそのうちの１つにしか履修登録できないので、予め注意すること。

全体履修者が多数の場合は、抽選あるいは「微分積分学」や「線型代数学」の基礎的な内容に対する口頭試問などを行ない、履修調整を行なう場合もある。開講直前に出される掲示等に注意すること。初回のセミナー打ち合わせに欠席した場合は、原則として、単位認定を前提とする履修を認めない。

科目の性格上オフィスアワーは特に設定しないので、質問等のある場合はセミナー終了後に相談すること。

少人数のセミナーにより、応用数学の基礎となる数学（特に解析学）に関する文献等の輪講、あるいは数値計算演習・研究発表等を通じて、応用数学の基礎について学ぶことを目的とする。

応用数学に対する理解を深めると共に、数学を学修する方法・態度を身につけることができる。

担当者毎に応用数学に関係する話題の中から適当なテーマを受講希望者と相談のうえ決め、担当者毎の少人数のセミナーを独立に行なう。
具体的には、微分方程式・力学系・カオス・フラクタル・数値解析・Fourier解析・流体力学などに関連するテキスト・論文等の輪講による精読、あるいは場合によってはテキストの内容に基づく数値計算演習等を行なう。何れの場合も２回生前期レベルまでの微積分(多変数を含む)と線型代数の知識を前提とする。

輪講するテキストあるいは論文等は、履修希望者の希望も考慮の上、第１回目の授業時に決定する。指定された初回の授業に届けもなく欠席した場合は、履修を認めないことがある。

この授業は受講者自身の発表に基づき実施し、フィードバックを含め全15回で行うものする。

履修希望者は開講前の９月中旬〜下旬に出される掲示を必ず確認すること。

1回生で学修する程度の微積分と線形代数の内容は既知を前提とする。2回生科目の「微分積分学続論」の並行履修を強く勧める。

原則として授業時の発表をもとに平常点により成績評価を行なう。なお、授業の展開によってはレポート提出を課すこともあるが、その詳細は授業時に指示する。
成績評価の素点は、98点、88点、78点、68点、50点によって表記する。

輪講テキストの予習は前提とする。

セミナーという授業形態の性格上、少人数による密度の高い教育を行ないたいと考えている。このため、各セミナーの受講生は高々５名程度となるように開講時に人数調整を行なう。独立した複数のセミナーが開講されるが、受講者はそのうちの１つにしか履修登録できないので、予め注意すること。

全体履修者が多数の場合は、抽選あるいは「微分積分学」や「線型代数学」の基礎的な内容に対する口頭試問などを行ない、履修調整を行なう場合もある。開講直前に出される掲示等に注意すること。初回のセミナー打ち合わせに欠席した場合は、原則として、単位認定を前提とする履修を認めない。

科目の性格上オフィスアワーは特に設定しないので、質問等のある場合はセミナー終了後に相談すること。

コンピューターの急速な進歩により，様々な社会現象や自然現象を種々の数理的手法により分析することが可能となり，その重要性が高まっている．そのような数理的手法を学ぶための基礎として，文系学生向けに線形代数学に関する基礎的内容を講義する．
線形代数学B［文系］では，線形代数学A［文系］で学んだ連立一次方程式などのベクトルや行列に関する基礎的な内容を基にして，線形代数学において中心的な役割を果たす考え方や技法を学ぶ．

線形代数学B［文系］では，行列式，数ベクトル空間の基礎，内積，固有値・固有ベクトル，行列の対角化などの線形代数学において中心的な役割を果たす重要な考え方や技法を理解し，ベクトルや行列のより進んだ取り扱いに習熟することを目指す．

次の内容について解説する予定である．授業回数はフィードバックを含め全15回とする．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．主として実ベクトル，実行列を扱う．

1. 行列式（行列式の定義と性質（基本変形，積，転置との関係，置換と符号），行列式の展開，クラメルの公式）【4-5週】
2. 数ベクトル空間（線形独立性，部分空間，基底と次元，内積，正規直交基底，*直和，*直交補空間，*直交行列，*QR分解）【4-5週】
3. 固有値・固有ベクトルと対角化（固有値と固有ベクトル，行列の対角化，*行列の上三角化，*ケーリー・ハミルトンの定理，*対称行列の直交行列による対角化，*対称行列の定値性，*行列の平方根）【4-5週】
4. フィードバック【1週】

*のついた項目は，時間の余裕があればこの中から選んでふれるものである．
上記のトピックスの講義とともに，それに関連した問題演習(授業中の演習または宿題)を行う．

線形代数学A［文系］に引き続いて履修すること．

主として定期試験により成績評価を行うが，問題演習，宿題，小テストなどの平常点を成績評価に加えることもある．定期試験と平常点の割合は各教員が周知する．

数学を学ぶには，予習，復習とともに演習問題を自分で解いてみることが必要です．

１回生で学んだ微分積分学に引き続くものとして，複素変数の微分積分学である複素関数論（複素解析）について講義する．理論の根幹をなすコーシーの積分定理と，そこから導かれる正則関数・有理型関数の基本的性質を中心に解説する．複素関数論は，数学の他分野だけでなく，物理学や工学とも深い部分で結びついている．将来の様々な分野への応用のための確実な基礎となるよう，具体的な例や計算についても時間をとる．

１．複素関数の正則性の意味と種々の特徴づけを理解する．
２．初等関数の複素関数としての性質を理解する．
３．コーシーの積分定理と，そこから正則関数の基本的性質が体系的に導かれることを理解する．
４．複素線積分を活用した具体的な例の計算ができる能力を身につける．

複素関数論（複素解析）の基礎となる事柄を学ぶ．
以下の内容を、フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う。

１． 複素数と複素平面（ガウス平面），リーマン球面 【１週】
２． 複素関数の微分法【２週】
　　（複素微分可能性，コーシー・リーマンの方程式，正則関数）
３． べき級数（整級数）【２週】
　　（収束半径，べき級数による初等関数の定義）
４． 複素積分【２週】
　　（複素線積分，グリーンの定理，コーシーの積分定理）
５． コーシーの積分公式と正則関数の基本的性質【３〜４週】
　　（正則関数のべき級数展開，一致の定理，最大値の原理，代数学の基本定理）
６． 有理型関数と留数定理【３〜４週】
　　（ローラン展開，留数定理および実関数の定積分の計算への応用）

時間があれば留数定理の理論的応用として偏角の原理，ルーシェの定理，逆関数定理についても，また調和関数との関連についても触れたい．

微分積分学および線形代数学の基本的知識を前提とする．また「微分積分学続論 I-ベクトル解析」を履修していることが望ましい．

主として定期試験によるが,それ以外の小テスト等を行う場合は担当教員が指示する.

１．この講義全般のための準備として，微分積分学の範囲のうち，特に，べき級数と実２変数関数の微積分の基本的事柄を復習しておくことが望ましい．
２．講義では時間の制約のために議論や計算，具体例の検討の一部を省略する場合がある．受講者は自習や質問コーナーの活用によってこの点を補うことが望ましい．

理系（特に理学部）の学生は，履修することが極めて望ましい。