One of the major reasons of providing this course is the noticeable gap between high school mathematics and college mathematics. The gap has led to a marked decline in the students' ability not only to grasp physical phenomena observed in engineering disciplines but also to explain principles behind the phenomena - e.g. to describe and analyze natural phenomena by means of differential equations.
This course aims at bridging the gap between high school mathematics and college mathematics. Through this course, students learn how the physical phenomena in engineering disciplines - e.g. vibration of a structure, wave propagation, fluid dynamics and so on - are described in differential equations. They also learn how those physical phenomena are solved by differential equations.

・To understand the relationship between scientific observation and mathematics.
・To understand how the physical phenomena in engineering disciplines are described in differential equations, as well as how to solve them.

* To achieve the goal, this lecture will cover the following topics.
1. Picture of Calculus, basics of differentiation and integration
2. e, the base of the natural logarithm
3. Complex numbers, exponential function, logarithmic function and trigonometric functions
4. Differential equations and physical phenomena modelling


* The lecture is designed to cover following topics, in detail.

1. Introduction
- Describing phenomena, input-output system model, etc. [2 weeks]

2. Basics of Calculus
- Picture of Calculus, derivatives, basic rules, chain rule, implicit differentiation, inverse functions and their derivatives, etc. [4 weeks]
- Exponential and logarithmic functions, their derivatives, characterizations of exponential functions, etc. [2 weeks]

3. Differential equations and phenomenon descriptions
- Radioactive decay, population growth/decay, mixed growth/decay [3 weeks]
- Spring problems, equations of motion, simple harmonic motions, damped vibrations, etc. [3 weeks]

4. Feedback [1 week]

None

Quizzes and exercises (50%) and final examination (50%)

Students are expected to spend at least 2 hours on this course for preview and review. More than half of that time is spent preparing for class and doing assignments.

Any inquiry to the instructor: chang.kaichun.4z{at}kyoto-u.ac.jp. (replace {at} with @)

近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校の数学と大学に入ってから学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難となってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．
このような事情を踏まえ，本科目ではまず高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的としていくつかの数学的概念の紹介を行い，さらに工学に現れる現象がいかに微分方程式を用いて有用に記述，解析され得るかを講述する．
自然現象の例としては，ばねの単振動，建物の振動，流れの問題，熱伝導，波動などに関して詳しく述べる．講義を主体とするが，適宜，演習などを組み合わせて理解を深める．

※講義は原則日本語で行います。
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With the recent revision of the mathematics education curriculum in high schools, a larger gap in mathematics than before has appeared between high schools and universities. As a result, it is becoming more and more difficult to grasp the object and the principles underlying it, which is necessary in engineering. The understanding and analysis of natural phenomena using differential equations is one of the most important examples.

Based on these circumstances, this lecture will first introduce some mathematical concepts with the aim of bridging the gap in basic ideas and methods between high school mathematics and university mathematics. In addition, we will discuss how phenomena that appear in engineering can be usefully described and analyzed using differential equations. 　

Examples of natural phenomena will be discussed in detail, including single vibration of springs, building vibration, flow problems, heat conduction, and waves. Lectures will be given as the main part of the course, and exercises will be combined as necessary to deepen understanding.

※In principal, this lecture will be given in Japanese.

高等学校で学んだ数学や物理の内容が自然現象を記述する上でどのように役立つかを理解することが可能となる．また，微分方程式が果たす役割を理解することが可能となる．

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Students will be able to understand how the mathematics and physics content they learned in high school can be used to describe natural phenomena. It will also enable students to understand the role of differential equations.

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．

１．集合と写像

２．行列と線形変換

３．微分とテイラー展開

４．微積分の基本公式，２変数関数，多重積分，求積法

５．複素数

６．微分方程式と自然現象のモデル化

７．微分方程式の解法

具体的な授業計画は以下のとおりである．
・集合と写像（1/2回：伊庭）
　集合と写像について，その基本的考え方を解説する．

・行列と線形変換（2回：伊庭）
　行列の演算とその応用，平面の線形変換と行列，逆行列などを解説する．

・微分とテイラー展開（1/2回：伊庭）
　微分の考え方と微分方程式をたてる際に必要となるテイラー展開について解説する．

・2変数（多変数）関数の増減と偏微分（1回：伊庭）
　2変数（多変数）関数の増減，最大，最小について解説する．偏微分についても学ぶ．

・微積分の基本公式，積分の変数変換（1回：伊庭）
　積分の変数変換，多重積分など微積分の基本公式について解説する．

・求積法（1回：伊庭）
　楕円の面積，円周の長さ，円の面積，球の表面積，球の体積等から出発して，さまざまな形の面積，体積，表面積を求める方法について解説する．

・複素数に慣れる（1回：伊庭）
　三角関数と複素数，振動方程式と複素数など，複素数を用いて関数や方程式を表現することによって，より簡潔に統一的に現象を記述することができることを学ぶ．また，対数関数と自然対数の底 eについても解説する．

・微分方程式と自然現象のモデル化(1回：張）
　自然現象をモデル化し，数理的に表現する数学的手法として微分方程式が存在する．その入門的解説を行う．

・微分方程式の立式（2回：張）
　種々の例について微分方程式のたて方を解説する．対象として，ばねの単振動，建物の振動，流れの問題，熱伝導，波動などを扱う．

・常微分方程式や偏微分方程式の解法（２回：張）

・演習（2回：張）

・期末試験／学習到達度の評価（１回）

・フィードバック（１回）

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In order to achieve the above goals, the following topics will be covered.

1. Mathematical set and mapping

2. Matrix and linear transformation

3. Differentiation and Taylor series expansion

4. Fundamental formula of calculus, 2-variable (multivariable) functions, multiple integral and quadrature

5. Complex numbers

6. Differential equations and modeling of natural phenomena

7. Solving differential equations


[Details]
・Mathematical set and mapping（0.5 week: IBA）
　Basic concept of set and mapping will be explained.

・Matrix and linear transformation（2 weeks: IBA）
　Matrix operations and their applications, linear transformations of the plane and matrix, and inverse matrices will be explained.

・Differentiation and Taylor series expansion（0.5week: IBA）
　The concept of differentiation and the Taylor series expansion required when formulating differential equations will be explained.

・Increase / decrease and partial differentiation of 2-variable (multivariable) functions (1 week: IBA)
　The increase / decrease, maximum, and minimum of 2-variable (multivariable) functions and partial differentiation are described.

・Fundamental formula of calculus, change of variables in Integrals（1 week: IBA）
　The basic formulas of calculus such as multiple integral and change of variables in integral well be explained.

・Quadrature（1week: IBA）
　We will explain how to obtain the area, volume, and surface area of various shapes, such as the area of the ellipse, the length of the circumference, the area of the circle, the surface area and the volume of the sphere.

・Introduction to complex numbers (1 week: IBA)
the phenomena can be described more concisely and uniformly by expressing functions and equations using complex numbers such as trigonometric functions / oscillator equation equations. We also explain the logarithmic function and the base e of the natural logarithm.

・Differential equations, a mathematical method for the mathematical representation of natural phenomena, are explained. An introductory explanation of differential equations is given with specific examples of modeling natural phenomena using differential equations. (1 week: ZHANG)

・The physical meanings expressed by differential equations are explained, and the method of constructing differential equations is explained for various examples. Topics include single vibration of a spring, vibration of a building, flow problems, heat conduction, and waves. (2 weeks: ZHANG)

・Solving ordinary differential equations and partial differential equations will be explained. (2 weeks: ZHANG)

・Exercise （2 weeks: ZHANG)

・Examination（1 week）

・Feedback（1 week）

None

期末試験(80%)と課題レポートによる平常点(20%)を総合して評価する.

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Evaluation will be based on the final examination (80%) and a report (20%).

講義プリントに記載された演習問題などを解くことが望ましい．

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It is desirable to solve the exercises given in the lecture handouts.

近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校で学ぶ数学と大学入学後に学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難になってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．このような事情を踏まえて，本科目では，高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的として，工学に現れる現象がいかに微分方程式等を用いて有用に記述・解析され得るかを学習する．

工学に現れる現象がいかに微分方程式等の数学的モデルを用いて有用に記述・解析され得るかについて学習し，そのための数学的基礎について理解する．

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．
１．線形変換と行列
２．微分の考え方
３．複素数と指数関数，対数関数，三角関数
４．微分方程式と現象のモデル化

具体的な授業計画（講述する内容）は以下の通り．各内容の講義の後，演習を行う．
１．線形変換と行列 (5回)
　　線形結合，回転と線形変換，行列の演算
２．極限と関数 (3回)
　　極限，関数の概念（全射・単射・全単射），逆関数，上界・下界，上限・下限，関数のグラフ，
　　関数の連続性，最大最小値の定理，中間値の定理，はさみうちの原理
３．微分 (2回)
　　微分の考え方，微分可能性，導関数，種々の微分，ロールの定理，
　　平均値の定理，線形近似，テーラーの定理，テーラー級数，ロピタルの法則，ライプニッツの法則
４．複素数 (2回)
　　実数から複素数への拡張，アーガンド図（Argand Diagram）による表示，
　　Eulerの公式，De Moivreの定理
５．微分方程式 (2回)
　　常微分方程式の解法，積分因数，線形2階常微分方程式
６．フィードバック (1回)

None

レポート課題（20点）と期末試験(80点)による総合評価．

レポート課題を課す．

近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校の数学と大学に入ってから学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難ともなってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．
　このような事情を踏まえて，本科目ではまず高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的とし，さらに工学に現れる現象がいかに微分方程式を用いて有用に記述，解析され得るかを学習する．

講義内容（行列や微積分の基礎概念，微分方程式）について理解し，応用ができるようになる．

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．
１．線形変換と行列
２．微分の考え方
３．複素数と指数関数，対数関数，三角関数
４．微分方程式と現象のモデル化

具体的な授業計画（講述する内容）は以下の通り．各内容の講義の後，演習を行う．

１．線形変換と行列 (5回)
　　線形結合，回転と線形変換，行列の演算
２．極限と関数(3回)
　　極限，関数の概念（全射・単射・全単射），逆関数，上界・下界，上限・下限 ， 関数のグラフ，関数の連続性，最大最小値の定理，中間値の定理， はさみうちの原理
３．微分 (2回)
　　微分の考え方，微分可能性，導関数，種々の微分，ロールの定理，
　　平均値の定理，線形近似，テーラーの定理，テーラー級数，ロピタルの法則，
　　ライプニッツの法則
４．複素数 (2回)
　　実数から複素数への拡張，アーガンド図（Argand Diagram）による表示，Eulerの公式，De Moivreの定理
５．微分方程式 (2回)
　　常微分方程式の解法，積分因数，線形2階常微分方程式
６．フィードバック (1回)

None

レポート課題および期末試験による評価（試験：レポート＝４：１）．

初回以外は，講義資料が事前に配布されるため，予習しておく．
講義で出されるレポート課題を提出すること．また，レポート課題・演習に例示されなかった演習問題を解くこと．

種々の社会現象、自然現象の分析に用いられる数理的方法の基礎として、微分積分と線形代数を応用的側面に配慮しながら総合的に講義する。その学習内容を身につけ、実例や応用例を学ぶために、問題演習を行う。高校の理系数学を前提とはせず、高校の文系数学のみを履修した学生でも内容を理解できる説明する。
一変数の初等関数の微分法、積分法と、関数のグラフの取り扱いを学ぶ。

初等関数（整関数、有理関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数）の微分演算の技術を身につけ、導関数を使って関数の増減を調べる手法を習得する。
また積分法も学んで、積分計算の技法を身につける。

授業内容は以下の通りである。授業はフィードバックを含め全15回（試験週を除く）で行う。

（１） 数列と極限 （３週）
　　数列の収束と発散、等比数列、級数の収束と発散、等比級数、極限値と四則演算

（２） 関数　（４〜５週）
　　集合と写像*（定義域、値域、１対１写像、上への写像、逆写像）、
　　関数のグラフ、分数関数、無理関数、関数の合成、逆関数、
　　指数関数、対数関数、三角関数、関数の極限、関数の連続性、
　　区間、連続関数の最大と最小、中間値の定理

（３） 微分法　（６〜７週）
　　微分係数、導関数、積の微分法、商の微分法、
　　合成関数の微分法、逆関数の微分法、
　　初等関数の導関数、接線、平均値の定理、
　　関数の増加と減少、関数の極大と極小、最大と最小、
　　増減表、関数のグラフ

（４） 積分法*　（１〜２週）
　　不定積分、初等関数の原始関数、置換積分、部分積分、定積分
　
* のついた項目は、授業の進行によっては、一部もしくは全部を後期に扱うものとする。

上記のトピックスの講義とともに、それに関連した問題演習（授業中の演習または宿題）を行う。

同一クラスの数学基礎Ｂを併せて履修すること。
高校での文系の数学を理解していることを前提とする。

定期試験と、問題演習または宿題による。その割合は各教員が周知する。

数学の学習には、予習、復習とともに、演習問題を積極的に解いてみることがかかせません。演習問題に取り組むことで、理解しているかどうかがわかります。

種々の社会現象、自然現象の分析に用いられる数理的方法の基礎として、微分積分と線形代数を応用的側面に配慮しながら総合的に講義する。その学習内容を身につけ、実例や応用例を学ぶために、問題演習を行う。高校の理系数学を前提とはせず、高校の文系数学のみを履修した学生でも内容を理解できる説明する。
一変数の初等関数の微分法、積分法と、関数のグラフの取り扱いを学ぶ。

初等関数（整関数、有理関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数）の微分演算の技術を身につけ、導関数を使って関数の増減を調べる手法を習得する。
また積分法も学んで、積分計算の技法を身につける。

授業内容は以下の通りである。授業はフィードバックを含め全15回（試験週を除く）で行う。

（１） 数列と極限 （３週）
　　数列の収束と発散、等比数列、級数の収束と発散、等比級数、極限値と四則演算

（２） 関数　（４〜５週）
　　集合と写像*（定義域、値域、１対１写像、上への写像、逆写像）、
　　関数のグラフ、分数関数、無理関数、関数の合成、逆関数、
　　指数関数、対数関数、三角関数、関数の極限、関数の連続性、
　　区間、連続関数の最大と最小、中間値の定理

（３） 微分法　（６〜７週）
　　微分係数、導関数、積の微分法、商の微分法、
　　合成関数の微分法、逆関数の微分法、
　　初等関数の導関数、接線、平均値の定理、
　　関数の増加と減少、関数の極大と極小、最大と最小、
　　増減表、関数のグラフ

（４） 積分法*　（１〜２週）
　　不定積分、初等関数の原始関数、置換積分、部分積分、定積分
　
* のついた項目は、授業の進行によっては、一部もしくは全部を後期に扱うものとする。

上記のトピックスの講義とともに、それに関連した問題演習（授業中の演習または宿題）を行う。

同一クラスの数学基礎Ｂを併せて履修すること。
高校での文系の数学を理解していることを前提とする。

定期試験と、問題演習または宿題による。その割合は各教員が周知する。

数学の学習には、予習、復習とともに、演習問題を積極的に解いてみることがかかせません。演習問題に取り組むことで、理解しているかどうかがわかります。

多変数関数の微分積分学は，数学の諸分野のみならず，物理学，工学等の広い領域の共通の基礎である．
この授業では，「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」を前提として，多変数微分積分学の理解を深めると同時に，ベクトル解析の基本的概念を具体的な例と共に解説する．

多変数関数の微分積分の理解を深める．また平面および空間のベクトル場の演算や線積分・面積分の意味を理解する．さらに，これらを活用する能力を身につける．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．ユークリッド空間のベクトル場とポテンシャル【４〜５週】：
ベクトルの演算（内積，外積）
ベクトル場
ベクトル場の演算（勾配，回転，発散など）
スカラーポテンシャル, ベクトルポテンシャル

２．線積分と面積分【６〜７週】：
曲線の長さ，曲面積
線積分，面積分
積分定理（ガウスの発散定理，グリーンの公式，ストークスの定理）

なお上記の項目を学習する際には，

３．多変数関数の微積分【３〜５週】：
陰関数定理，逆関数定理
重積分，変数変換公式

について，必要な箇所で適宜説明を加えるものとする．

「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」の履修を前提とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）。

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

線形代数学は，数学諸分野のみならず，自然科学，工学などの領域の共通の基礎である．この講義では１回生で学習する「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」をさらに発展させて，行列の対角化、ジョルダン標準形等，線形代数のより進んだ内容について講義する。

・行列の固有値問題の意味を理解するとともに，対角化などの手法を種々の局面に活用できるようになる．
・ジョルダン標準形の意味を理解するとともに，標準形が種々の局面に活用できるようになる．
・上記を通じてベクトル空間や行列の扱いに習熟する．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．行列の対角化【５〜６週】：　
固有値問題， 固有空間分解
正規行列のユニタリ行列による対角化
正値対称（エルミート）行列
二次形式

２．ジョルダン標準形【６〜７週 】：
最小多項式，一般固有空間分解
ジョルダン標準形，ジョルダン分解*
ジョルダン標準形の応用：
行列のべき，行列の指数関数，線形常微分方程式との関係*など

３．関連するトピック【１〜３週】
行列の分解定理（極分解，特異値分解など）
単因子論
双対空間，商空間
一般逆行列、連立方程式の数値解法
などの中から担当者が選んで解説する．

アステリスク * はオプション

「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」の内容は既知とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

線形代数学は，数学諸分野のみならず，自然科学，工学などの領域の共通の基礎である．この講義では１回生で学習する「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」をさらに発展させて，行列の対角化、ジョルダン標準形等，線形代数のより進んだ内容について講義する。

・行列の固有値問題の意味を理解するとともに，対角化などの手法を種々の局面に活用できるようになる．
・ジョルダン標準形の意味を理解するとともに，標準形が種々の局面に活用できるようになる．
・上記を通じてベクトル空間や行列の扱いに習熟する．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．行列の対角化【５〜６週】：　
固有値問題， 固有空間分解
正規行列のユニタリ行列による対角化
正値対称（エルミート）行列
二次形式

２．ジョルダン標準形【６〜７週 】：
最小多項式，一般固有空間分解
ジョルダン標準形，ジョルダン分解*
ジョルダン標準形の応用：
行列のべき，行列の指数関数，線形常微分方程式との関係*など

３．関連するトピック【１〜３週】
行列の分解定理（極分解，特異値分解など）
単因子論
双対空間，商空間
一般逆行列、連立方程式の数値解法
などの中から担当者が選んで解説する．

アステリスク * はオプション

「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」の内容は既知とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Aでは，高校で学んだ一変数関数の微分積分の理論的な基礎を固めるとともに，さらに進んだ数学的解析の手法を学ぶ．

　一変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 準備 【１週】：
　数，集合・写像，論理

2. 実数，極限，連続関数【３〜４週】：
　実数の連続性，数列の収束，無限級数*
　関数の極限，連続関数とその性質(中間値の定理など)

3. 一変数関数の微分法【３〜４週】：
　微分係数，一次近似，導関数，合成関数の微分
　平均値の定理とその応用
　高階導関数，テイラーの定理，無限小，近似値の計算*

4. 一変数関数の積分法【３〜４週】：
　リーマン積分，連続関数の積分可能性
　微分積分学の基本定理，部分積分，置換積分
　広義積分，曲線の長さ*
　
　なお

5. 重要な関数【３〜４週】：
　指数関数，三角関数，対数関数
　逆三角関数，ガンマ関数*

については必要な箇所で適宜説明を加えるものとする.

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Aでは，高校で学んだ一変数関数の微分積分の理論的な基礎を固めるとともに，さらに進んだ数学的解析の手法を学ぶ．

　一変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 準備 【１週】：
　数，集合・写像，論理

2. 実数，極限，連続関数【３〜４週】：
　実数の連続性，数列の収束，無限級数*
　関数の極限，連続関数とその性質(中間値の定理など)

3. 一変数関数の微分法【３〜４週】：
　微分係数，一次近似，導関数，合成関数の微分
　平均値の定理とその応用
　高階導関数，テイラーの定理，無限小，近似値の計算*

4. 一変数関数の積分法【３〜４週】：
　リーマン積分，連続関数の積分可能性
　微分積分学の基本定理，部分積分，置換積分
　広義積分，曲線の長さ*
　
　なお

5. 重要な関数【３〜４週】：
　指数関数，三角関数，対数関数
　逆三角関数，ガンマ関数*

については必要な箇所で適宜説明を加えるものとする.

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Aでは，高校で学んだ一変数関数の微分積分の理論的な基礎を固めるとともに，さらに進んだ数学的解析の手法を学ぶ．

　一変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 準備 【１週】：
　数，集合・写像，論理

2. 実数，極限，連続関数【３〜４週】：
　実数の連続性，数列の収束，無限級数*
　関数の極限，連続関数とその性質(中間値の定理など)

3. 一変数関数の微分法【３〜４週】：
　微分係数，一次近似，導関数，合成関数の微分
　平均値の定理とその応用
　高階導関数，テイラーの定理，無限小，近似値の計算*

4. 一変数関数の積分法【３〜４週】：
　リーマン積分，連続関数の積分可能性
　微分積分学の基本定理，部分積分，置換積分
　広義積分，曲線の長さ*
　
　なお

5. 重要な関数【３〜４週】：
　指数関数，三角関数，対数関数
　逆三角関数，ガンマ関数*

については必要な箇所で適宜説明を加えるものとする.

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Aでは行列や連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目的とする．

ベクトル，行列や連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１． 準備【１週】：
　数，集合・写像，論理

２．平面ベクトルと2次行列【２週】：
　ベクトルと行列の計算，逆行列，ケーリー・ハミルトンの定理
　平面の一次変換（回転，折り返しなど）と行列
　連立一次方程式と行列

３．数ベクトル空間と行列【５〜７週】：
　(i) 数ベクトル，数ベクトルの演算，一次結合
　(ii) 行列，行列の演算（和，スカラー倍，積）
　(iii) 行列の例
　(iv) 行列の基本変形，階数，正則行列，逆行列
　(v) 連立一次方程式の解法，解の構造*
うち (i)-(iii) を２〜３週，(iv),(v) を３〜４週で扱う．

４．行列式【４〜６週】：
　(i) 置換と符号，行列式の定義と性質（基本変形，積，転置との関係など）
　(ii) 行列式の展開，クラメルの公式，行列式と体積
うち (i) を３〜４週，(ii) を１〜２週で扱う．

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

　線形代数学は，微分積分学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では将来の応用に必要な線形代数学の基礎を解説する．
　線形代数学（講義・演義）Aでは行列や連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目的とする．

ベクトル，行列や連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体となって構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１． 準備【１週】：
　数，集合・写像，論理

２．平面ベクトルと2次行列【２週】：
　ベクトルと行列の計算，逆行列，ケーリー・ハミルトンの定理
　平面の一次変換（回転，折り返しなど）と行列
　連立一次方程式と行列

３．数ベクトル空間と行列【５〜７週】：
　(i) 数ベクトル，数ベクトルの演算，一次結合
　(ii) 行列，行列の演算（和，スカラー倍，積）
　(iii) 行列の例
　(iv) 行列の基本変形，階数，正則行列，逆行列
　(v) 連立一次方程式の解法，解の構造*
うち (i)-(iii) を２〜３週，(iv),(v) を３〜４週で扱う．

４．行列式【４〜６週】：
　(i) 置換と符号，行列式の定義と性質（基本変形，積，転置との関係など）
　(ii) 行列式の展開，クラメルの公式，行列式と体積
うち (i) を３〜４週，(ii) を１〜２週で扱う．

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

数に親しみ、論理・集合・写像・同値関係・群等の数学の基本的な言葉を理解し、
「近似」や「同一視」等の、数学の「実用的」側面を知る事を目的とし、
微積分や線形代数の「副読本」的な話をする。

「近似」に関連して「連分数」に纏わる話を紹介したい。
例えば、円周率は3.14159265358979・・・と続く；これは、
3,31/10,314/100=157/50,3141/1000,・・・
と云う（下からの）近似列を考えている訳だが、
「分母」が小さい方が「良い」と云う観点からは、
3,22/7=3.14285・・・,333/106=3.1415094・・・,355/113=3.141592920・・・,
103993/33102=3.141592653011・・・,104348/33215=3.141592653921・・・,・・・
の方が「良い」近似列であると言える；
この列は「連分数」の考え方から求められる物である。
此れに限らず「連分数」は色々な話題に関連するが、其の内の幾つかを紹介する。

数に親しみ、論理・集合・写像・同値関係・群等の数学の基本的な言葉を理解し、
「近似」や「同一視」等の数学の「実用的」側面を知る。

「連分数」の話を中心とし、微積分や線形代数の「副読本」的な話をする。
連分数：15回位：論理・集合・写像・同値関係・群等の話をしながら。
授業回数はフィードバックを含め全15回とする。

None

試験（80点満点）及び数回のレポート。詳細は授業内で説明する。

レポートに自発的に取り組んで欲しい。

レポートの提出はPandAを介して行う。

今日，「数学」は自然科学や社会科学のさまざまな分野において不可欠かつ重要な役割を果たしている．例えば，それらの分野の基礎理論を記述する言語は「数学」であり，基礎理論に基づき，重要な結果を導くための道具として「数学」が用いられている．特に，未知関数とその導関数を含む方程式である微分方程式は，数々の現象を説明するための数理モデルを提供する．また現代の情報技術には，解析学，代数学，確率と統計など実に多様な数学が駆使されている．本講義では，前半は微分方程式の最近の研究成果に触れ，集合と位相について概説し，後半は情報技術へ応用される数学を俯瞰し，数学の重要性と近年の発展について理解するとともに，高校の数学と大学の数学の間に存在するギャップを埋め，集合と写像や距離空間，位相空間，有限数学，オイラーの公式など大学で学ぶ数学の基礎を習得する．

数学の重要性と近年の発展について理解するとともに，高校の数学と大学の数学の間に存在するギャップを埋め，大学で学ぶ数学の基礎を習得する．

１．数学の重要性と近年の発展【２回】
自然科学や社会科学のさまざまな分野における数学，特に，代数学や微分方程式の重要性と，可積分性やカオス現象の理解，暗号やデータ圧縮への応用に見られる，それらの近年の発展について学ぶ．

２．集合と写像【２〜３回】
集合，集合の演算，写像，全射・単射，濃度について学ぶ．

３．距離空間【１〜２回】
距離空間，近傍系と連続写像について学ぶ．

４．位相空間【１〜２回】
位相，近傍系と連続写像，開基と基本近傍系について学ぶ．

５．集合の演算と論理関数【１〜２回】集合論の応用として、集合と情報 の表現の関係について学ぶ．

６．関係【２〜３回】基本的な情報の表現方法という立場から，関係と関係間の演算，順序関係，同値関係について学ぶ．

７．データからの関数の導出【１〜２回】データサイエンスの基礎として，データからの多項式の導出方法，オイラーの公式，データからのフーリエ級数の導出方法について学ぶ．

この授業はフィードバックを含め全15回で行う．

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定期試験（筆記）のほか，平常点（出席と，小テストあるいはレポートの成績）の点数も成績の評価に加える．定期試験(筆記)と平常点の割合は９：１である．

教科書やプリント，ノート，参考書（講義中に紹介）を利用し，授業内容について予習/復習すること．さらに，前半の内容で，時間の関係で授業では触れられない部分についても教科書等を使用して自ら学ぶことが望ましい．

関連する科目：微分積分学Ａ・Ｂ，線形代数学Ａ・Ｂ，数理工学概論，微分積分学続論I・II，線形代数学続論，工業数学Ａ１，工業数学Ａ２，工業数学Ａ３，力学系の数学，応用代数学，計算機科学概論，言語・オートマトン，データベース
オフィスアワー：訪問日時について事前にメールで問い合わせすること

多変数関数の微分積分学は，数学の諸分野のみならず，物理学，工学等の広い領域の共通の基礎である．
この授業では，「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」を前提として，多変数微分積分学の理解を深めると同時に，ベクトル解析の基本的概念を具体的な例と共に解説する．

多変数関数の微分積分の理解を深める．また平面および空間のベクトル場の演算や線積分・面積分の意味を理解する．さらに，これらを活用する能力を身につける．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．ユークリッド空間のベクトル場とポテンシャル【４〜５週】：
ベクトルの演算（内積，外積）
ベクトル場
ベクトル場の演算（勾配，回転，発散など）
スカラーポテンシャル, ベクトルポテンシャル

２．線積分と面積分【６〜７週】：
曲線の長さ，曲面積
線積分，面積分
積分定理（ガウスの発散定理，グリーンの公式，ストークスの定理）

なお上記の項目を学習する際には，

３．多変数関数の微積分【３〜５週】：
陰関数定理，逆関数定理
重積分，変数変換公式

について，必要な箇所で適宜説明を加えるものとする．

「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」の履修を前提とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）。

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

自然科学や社会科学の様々な分野で偶然性の支配する現象は多いが、その中に存在する法則性を解明していく学問が確率論である。また確率論は数理統計を理解する上でも必須となっている。この講義ではこれら確率論の数学的基礎付けを講義する。

1. 確率事象、確率変数、独立性、条件付き確率などの直感的理解とともに、数学的な定式化も理解する
2. 平均、分散、相関係数などの確率論的な意味を習得する
3. ポアソン分布、正規分布どの基本的な確率分布が、どのような状況で現れるかを、その性質とともに理解する。
4. 大数の法則、中心極限定理などの極限定理を具体的な状況に即して理解する。

以下の内容を、フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う。

１．確率【2〜3週】
　確率空間、確率の基本的性質（可算加法性）、確率事象、試行と独立性、条件付き確率
２．確率変数【4週】
　確率変数、確率変数の定める分布、離散分布、連続分布、多次元連続分布、
　平均、分散、モーメント、共分散、相関係数、確率変数の独立性、チェビシェフの不等式
３．確率分布【3週】
　二項分布、ポアソン分布、幾何分布、一様分布、正規分布、指数分布、多次元正規分布
４．極限定理【3〜4週】
　大数の（弱）法則、Stirling の公式、中心極限定理 (de Moivre-Laplace)
５．ランダムウォークとマルコフ連鎖（時間の都合により省略することがある。）【1〜2週】

「微分積分学（講義・演義）A,B」および「線形代数学（講義・演義）A,B」、または「微分積分学A,B」および「線形代数学A,B」の内容を既知とする。

主として定期試験によるが、それ以外の小テスト等を行う場合は担当教員が指示する。

予習、復習とともに、演習問題を積極的に解いてみることが必要である。

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Aでは，高校で学んだ一変数関数の微分積分の理論的な基礎を固めるとともに，さらに進んだ数学的解析の手法を学ぶ．

　一変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 準備 【１週】：
　数，集合・写像，論理

2. 実数，極限，連続関数【３〜４週】：
　実数の連続性，数列の収束，無限級数*
　関数の極限，連続関数とその性質(中間値の定理など)

3. 一変数関数の微分法【３〜４週】：
　微分係数，一次近似，導関数，合成関数の微分
　平均値の定理とその応用
　高階導関数，テイラーの定理，無限小，近似値の計算*

4. 一変数関数の積分法【３〜４週】：
　リーマン積分，連続関数の積分可能性
　微分積分学の基本定理，部分積分，置換積分
　広義積分，曲線の長さ*
　
　なお

5. 重要な関数【３〜４週】：
　指数関数，三角関数，対数関数
　逆三角関数，ガンマ関数*

については必要な箇所で適宜説明を加えるものとする.

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．

　微分積分学は，線形代数学と共に現代の科学技術を支える数学の根幹をなす．この科目では，将来の応用に必要な微分積分学の基礎を解説する．
　微分積分学（講義・演義）Aでは，高校で学んだ一変数関数の微分積分の理論的な基礎を固めるとともに，さらに進んだ数学的解析の手法を学ぶ．

　一変数関数の微分積分の理論的な基礎を理解すること，ならびに，それを用いた数学解析の手法を修得して応用できるようになることを目標とする．

　この科目は講義と演義とが一体として構成されている．
　演義は原則として隔週で開講される．演義においては，受講者は問題演習や課題学習に積極的に取り組むことにより，それまでに講義で学んだ事柄の理解を深める．
　以下に挙げるのは講義の計画・内容である．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

1. 準備 【１週】：
　数，集合・写像，論理

2. 実数，極限，連続関数【３〜４週】：
　実数の連続性，数列の収束，無限級数*
　関数の極限，連続関数とその性質(中間値の定理など)

3. 一変数関数の微分法【３〜４週】：
　微分係数，一次近似，導関数，合成関数の微分
　平均値の定理とその応用
　高階導関数，テイラーの定理，無限小，近似値の計算*

4. 一変数関数の積分法【３〜４週】：
　リーマン積分，連続関数の積分可能性
　微分積分学の基本定理，部分積分，置換積分
　広義積分，曲線の長さ*
　
　なお

5. 重要な関数【３〜４週】：
　指数関数，三角関数，対数関数
　逆三角関数，ガンマ関数*

については必要な箇所で適宜説明を加えるものとする.

アステリスク * はオプション

None

演義担当教員によって平常点（演習への参加状況，課題への取組状況など）から得られた演義成績（30 点満点）をもとに，講義担当教員が期末試験を用いて，演義成績以上，100 点以下の範囲で 評価する．
教員によっては演義以外の平常点（レポート、中間試験などによるもの）を参考にすることもある．詳細は授業中に説明する．
本科目の評価が不合格であった履修者のうち，一定の基準以上の成績の者は再試験を受験できる．再試験の概要は KULASIS で履修者に通知する．なお再試験は9月末に実施予定である．

予習，復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である．