近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校の数学と大学に入ってから学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難となってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．
　このような事情を踏まえ，本科目ではまず高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的としていくつかの数学的概念の紹介を行い，さらに工学に現れる現象がいかに微分方程式を用いて有用に記述，解析され得るかを講述する．
　自然現象の例としては，ばねの単振動，建物の振動，流れの問題，熱伝導，波動などに関して詳しく述べる．講義を主体とするが，適宜，演習などを組み合わせて理解を深める．

※講義は原則日本語で行います.
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With the recent revision of the mathematics education curriculum in high schools, a larger gap in mathematics than before has appeared between high schools and universities. As a result, it is becoming more and more difficult to grasp the object and the principles underlying it, which is necessary in engineering. The understanding and analysis of natural phenomena using differential equations are the most important examples.

Based on these circumstances, this lecture will first introduce some mathematical concepts with the aim of bridging the gap in basic ideas and methods between high school mathematics and university mathematics. In addition, we will discuss how phenomena that appear in engineering can be usefully described and analyzed using differential equations. 　

Examples of natural phenomena will be discussed in detail, including single vibration of springs, building vibration, flow problems, heat conduction, and waves. Lectures will be given as the main part of the course, and exercises will be combined as necessary to deepen understanding.

※In principle, this lecture will be given in Japanese.

高等学校で学んだ数学や物理の内容が自然現象を記述する上でどのように役立つかを理解することが可能となる．また，微分方程式が果たす役割を理解することが可能となる．

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Students will be able to understand how the mathematics and physics content they learned in high school can be used to describe natural phenomena. It will also enable students to understand the role of differential equations.

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．

１．集合と写像

２．行列と線形変換

３．微分とテイラー展開

４．微積分の基本公式，２変数関数，多重積分，求積法

５．複素数

６．微分方程式と自然現象のモデル化

７．微分方程式の解法

具体的な授業計画は以下のとおりである．
・集合と写像（1/2回：仁井）
　集合と写像について，その基本的考え方を解説する．

・行列と線形変換（2回：仁井）
　行列の演算とその応用，平面の線形変換と行列，逆行列などを解説する．

・微分とテイラー展開（1/2回：仁井）
　微分の考え方と微分方程式をたてる際に必要となるテイラー展開について解説する．

・2変数（多変数）関数の増減と偏微分（1回：仁井）
　2変数（多変数）関数の増減，最大，最小について解説する．偏微分についても学ぶ．

・微積分の基本公式，積分の変数変換（1回：仁井）
　積分の変数変換，多重積分など微積分の基本公式について解説する．

・求積法（1回：仁井）
　楕円の面積，円周の長さ，円の面積，球の表面積，球の体積等から出発して，さまざまな形の面積，体積，表面積を求める方法について解説する．

・複素数に慣れる（1回：仁井）
　三角関数と複素数，振動方程式と複素数など，複素数を用いて関数や方程式を表現することによって，より簡潔に統一的に現象を記述することができることを学ぶ．また，対数関数と自然対数の底 eについても解説する．

・微分方程式と自然現象のモデル化(1回：杉野）
　自然現象をモデル化し，数理的に表現する数学的手法として微分方程式について，その入門的解説を行う．

・微分方程式の立式（2回：杉野）
　種々の例について微分方程式のたて方を解説する．対象として，ばねの単振動，建物の振動，流れの問題，熱伝導，波動などを扱う．

・常微分方程式や偏微分方程式の解法（2回：杉野）

・演習（2回：杉野）

・期末試験／学習到達度の評価

・フィードバック（1回）

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In order to achieve the above goals, the following topics will be covered.

1. Mathematical set and mapping

2. Matrix and linear transformation

3. Differentiation and Taylor series expansion

4. Fundamental formula of calculus, 2-variable (multivariable) functions, multiple integral and quadrature

5. Complex numbers

6. Differential equations and modeling of natural phenomena

7. Solving differential equations


[Details]
・Mathematical set and mapping（0.5 week: NII）
　Basic concept of set and mapping will be explained.

・Matrix and linear transformation（2 weeks: NII）
　Matrix operations and their applications, linear transformations of the plane and matrix, and inverse matrices will be explained.

・Differentiation and Taylor series expansion（0.5week: NII）
　The concept of differentiation and the Taylor series expansion required when formulating differential equations will be explained.

・Increase / decrease and partial differentiation of 2-variable (multivariable) functions (1 week: NII)
　The increase / decrease, maximum, and minimum of 2-variable (multivariable) functions and partial differentiation are described.

・Fundamental formula of calculus, change of variables in Integrals（1 week: NII）
　The basic formulas of calculus such as multiple integral and change of variables in integral will be explained.

・Quadrature（1week: NII）
　We will explain how to obtain the area, volume, and surface area of various shapes, such as the area of the ellipse, the length of the circumference, the area of the circle, the surface area and the volume of the sphere.

・Introduction to complex numbers (1 week: NII)
　The phenomena can be described more concisely and uniformly by expressing functions and equations using complex numbers such as trigonometric functions / oscillator equation equations. We also explain the logarithmic function and the base e of the natural logarithm.

・Differential equations and modeling of natural phenomena (1 week: SUGINO)
　An introductory explanation of differential equations is given with specific examples of modeling natural phenomena.


・Formulation of differential equations (2 weeks: SUGINO)
　The physical meanings expressed by differential equations are explained, and the method of constructing differential equations is explained for various examples. Topics include single vibration of a spring, vibration of a building, flow problems, heat conduction, and waves.


・Solutions of ordinary differential equations and partial differential equations (2 weeks: SUGINO)
　Solving ordinary differential equations and partial differential equations will be explained.

・Exercise （2 weeks: SUGINO)

・Examination（1 week）

・Feedback（1 week）

特になし

期末試験(80%)と課題レポートによる平常点(20%)を総合して評価する.

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Evaluation will be based on the final examination (80%) and reports (20%).

講義プリントに記載された演習問題などを解くことが望ましい．

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It is desirable to solve the exercises given in the lecture handouts.

近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校の数学と大学に入ってから学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難ともなってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．
　このような事情を踏まえて，本科目ではまず高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的とし，さらに工学に現れる現象がいかに微分方程式を用いて有用に記述，解析され得るかを学習する．

講義内容（行列や微積分の基礎概念，微分方程式）について理解し，応用ができるようになる．

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．
１．線形変換と行列
２．微分の考え方
３．複素数と指数関数，対数関数，三角関数
４．微分方程式と現象のモデル化

具体的な授業計画（講述する内容）は以下の通り．各内容の講義の後，演習を行う．

１．線形変換と行列 (5回)
　　線形結合，回転と線形変換，行列の演算
２．極限と関数(3回)
　　極限，関数の概念（全射・単射・全単射），逆関数，上界・下界，上限・下限 ， 関数のグラフ，関数の連続性，最大最小値の定理，中間値の定理， はさみうちの原理
３．微分 (2回)
　　微分の考え方，微分可能性，導関数，種々の微分，ロールの定理，
　　平均値の定理，線形近似，テーラーの定理，テーラー級数，ロピタルの法則，
　　ライプニッツの法則
４．複素数 (2回)
　　実数から複素数への拡張，アーガンド図（Argand Diagram）による表示，Eulerの公式，De Moivreの定理
５．微分方程式 (2回)
　　常微分方程式の解法，積分因数，線形2階常微分方程式
６．フィードバック (1回)

特になし

レポート課題および期末試験による評価（試験：レポート＝４：１）．

初回以外は，講義資料が事前に配布されるため，予習しておく．
講義で出されるレポート課題を提出すること．また，レポート課題・演習に例示されなかった演習問題を解くこと．

近年の高等学校の数学教育カリキュラム改訂に伴い，高校の数学と大学に入ってから学ぶ数学との間に以前より大きなギャップが生じている．そのため，工学で必要となる対象の把握やその根底にある原理の把握がより困難ともなってきている．微分方程式による自然現象の把握と解析などはその重要な一例である．
　このような事情を踏まえて，本科目ではまず高校の数学と大学の数学との間にある基本的な考え方や手法の差を埋めることを目的とし，さらに工学に現れる現象がいかに微分方程式を用いて有用に記述，解析され得るかを学習する．

講義内容（行列や微積分の基礎概念，微分方程式）について理解し，応用ができるようになる．

上記の目標を達成するため，以下の内容について講義する．
１．線形変換と行列
２．微分の考え方
３．複素数と指数関数，対数関数，三角関数
４．微分方程式と現象のモデル化

具体的な授業計画（講述する内容）は以下の通り．各内容の講義の後，演習を行う．

１．線形変換と行列 (5回)
　　線形結合，回転と線形変換，行列の演算
２．極限と関数(3回)
　　極限，関数の概念（全射・単射・全単射），逆関数，上界・下界，上限・下限 ， 関数のグラフ，関数の連続性，最大最小値の定理，中間値の定理， はさみうちの原理
３．微分 (2回)
　　微分の考え方，微分可能性，導関数，種々の微分，ロールの定理，
　　平均値の定理，線形近似，テーラーの定理，テーラー級数，ロピタルの法則，
　　ライプニッツの法則
４．複素数 (2回)
　　実数から複素数への拡張，アーガンド図（Argand Diagram）による表示，Eulerの公式，De Moivreの定理
５．微分方程式 (2回)
　　常微分方程式の解法，積分因数，線形2階常微分方程式
６．フィードバック (1回)

特になし

レポート課題および期末試験による評価（試験：レポート＝４：１）．

初回以外は，講義資料が事前に配布されるため，予習しておく．
講義で出されるレポート課題を提出すること．また，レポート課題・演習に例示されなかった演習問題を解くこと．

高校の数学IIIを学んでいない人を対象とし、高校の数学IIIの内容を、高校の教科書に沿って基礎事項だけでなく例題、練習問題、演習問題も含めて解説する。
扱う題材は数列や関数の極限、初等関数とその微分法、積分法、およびその応用である。

初等関数（整関数、有理関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数）の微分演算の技術を身につけ、導関数を使って関数の増減を調べる手法を習得する。
また積分法も学んで、積分計算の技法を身につける。

授業内容は以下の通りである。授業はフィードバックを含め全15回（試験週を除く）で行う。

（１） 数列と極限 （３週）
　　数列の収束と発散、等比数列、級数の収束と発散、等比級数、極限値と四則演算

（２） 関数　（４〜５週）
　　集合と写像*（定義域、値域、１対１写像、上への写像、逆写像）、
　　関数のグラフ、分数関数、無理関数、関数の合成、逆関数、
　　指数関数、対数関数、三角関数、関数の極限、関数の連続性、
　　区間、連続関数の最大と最小、中間値の定理

（３） 微分法　（６〜７週）
　　微分係数、導関数、積の微分法、商の微分法、
　　合成関数の微分法、逆関数の微分法、
　　初等関数の導関数、接線、平均値の定理、
　　関数の増加と減少、関数の極大と極小、最大と最小、
　　増減表、関数のグラフ

（４） 積分法*　（１〜２週）
　　不定積分、初等関数の原始関数、置換積分、部分積分、定積分
　
* のついた項目は、授業の進行によっては、一部もしくは全部を後期に扱うものとする。

上記のトピックスの講義とともに、それに関連した問題演習（授業中の演習または課題提出）を行う。

数学基礎Ｂを併せて履修することを推奨する。
高校での文系の数学の知識を前提とする。

定期試験と課題提出による。その割合は原則的に4対1。

数学の学習には、予習、復習とともに、演習問題を積極的に解いてみることがかかせません。演習問題に取り組むことで、理解しているかどうかがわかります。

多変数関数の微分積分学は，数学の諸分野のみならず，物理学，工学等の広い領域の共通の基礎である．
この授業では，「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」を前提として，多変数微分積分学の理解を深めると同時に，ベクトル解析の基本的概念を具体的な例と共に解説する．

多変数関数の微分積分の理解を深める．また平面および空間のベクトル場の演算や線積分・面積分の意味を理解する．さらに，これらを活用する能力を身につける．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．ユークリッド空間のベクトル場とポテンシャル【４〜５週】：
ベクトルの演算（内積，外積）
ベクトル場
ベクトル場の演算（勾配，回転，発散など）
スカラーポテンシャル, ベクトルポテンシャル

２．線積分と面積分【６〜７週】：
曲線の長さ，曲面積
線積分，面積分
積分定理（ガウスの発散定理，グリーンの公式，ストークスの定理）

なお上記の項目を学習する際には，

３．多変数関数の微積分【３〜５週】：
陰関数定理，逆関数定理
重積分，変数変換公式

について，必要な箇所で適宜説明を加えるものとする．

「微分積分学（講義・演義）Ａ・Ｂ」および「線形代数学（講義・演義）Ａ・Ｂ」，または「微分積分学Ａ・Ｂ」および「線形代数学Ａ・Ｂ」の履修を前提とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）。

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

線形代数学は，数学諸分野のみならず，自然科学，工学などの領域の共通の基礎である．この講義では１回生で学習する「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」をさらに発展させて，行列の対角化、ジョルダン標準形等，線形代数のより進んだ内容について講義する。

・行列の固有値問題の意味を理解するとともに，対角化などの手法を種々の局面に活用できるようになる．
・ジョルダン標準形の意味を理解するとともに，標準形が種々の局面に活用できるようになる．
・上記を通じてベクトル空間や行列の扱いに習熟する．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．行列の対角化【５〜６週】：　
固有値問題， 固有空間分解
正規行列のユニタリ行列による対角化
正値対称（エルミート）行列
二次形式

２．ジョルダン標準形【６〜７週 】：
最小多項式，一般固有空間分解
ジョルダン標準形，ジョルダン分解*
ジョルダン標準形の応用：
行列のべき，行列の指数関数，線形常微分方程式との関係*など

３．関連するトピック【１〜３週】
行列の分解定理（極分解，特異値分解など）
単因子論
双対空間，商空間
一般逆行列、連立方程式の数値解法
などの中から担当者が選んで解説する．

アステリスク * はオプション

「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」の内容は既知とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

線形代数学は，数学諸分野のみならず，自然科学，工学などの領域の共通の基礎である．この講義では１回生で学習する「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」をさらに発展させて，行列の対角化、ジョルダン標準形等，線形代数のより進んだ内容について講義する。

・行列の固有値問題の意味を理解するとともに，対角化などの手法を種々の局面に活用できるようになる．
・ジョルダン標準形の意味を理解するとともに，標準形が種々の局面に活用できるようになる．
・上記を通じてベクトル空間や行列の扱いに習熟する．

　以下の各項目について講述する．各項目には，受講者の理解の程度を確認しながら，【 】で指示した週数を充てる．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．講義の進め方については適宜，指示をして，受講者が予習をできるように十分に配慮する．
　以下の内容を，フィードバック回を含め（試験週を除く）全15回にて行う．

１．行列の対角化【５〜６週】：　
固有値問題， 固有空間分解
正規行列のユニタリ行列による対角化
正値対称（エルミート）行列
二次形式

２．ジョルダン標準形【６〜７週 】：
最小多項式，一般固有空間分解
ジョルダン標準形，ジョルダン分解*
ジョルダン標準形の応用：
行列のべき，行列の指数関数，線形常微分方程式との関係*など

３．関連するトピック【１〜３週】
行列の分解定理（極分解，特異値分解など）
単因子論
双対空間，商空間
一般逆行列、連立方程式の数値解法
などの中から担当者が選んで解説する．

アステリスク * はオプション

「線形代数学A, B」または「線形代数学（講義・演義）A, B」の内容は既知とする。

主として定期試験による（詳しくは担当教員毎に授業中に指示する）．

予習・復習とともに，演習問題を積極的に解いてみることが必要である.

コンピューターの急速な進歩により，様々な社会現象や自然現象を種々の数理的手法により分析することが可能となり，その重要性が高まっている．そのような数理的手法を学ぶための基礎として，文系学生向けに線形代数学に関する基礎的内容を講義する．
授業では高校の理系数学（高校 数学III）を前提とはせず，高校の文系数学のみを履修した学生にも内容を理解できるように講義を行う．
線形代数学A［文系］では，ベクトルと行列に関する基礎的事項を学ぶ．

線形代数学A［文系］ではベクトルや行列，連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目的とする．

次の内容について解説する予定である．授業回数はフィードバックを含め全15回とする．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．主として実ベクトル，実行列を扱う．

1. 平面ベクトルと2次行列
（平面ベクトルと行列の計算，内積，逆行列，ケーリー・ハミルトンの定理，平面の一次変換（回転，鏡映），連立一次方程式と行列，行列式）【3-4週】
2. ベクトル・行列の演算（一次結合，和，スカラー倍，積，線型写像と行列) 【2-3週】
3. 基本変形と連立一次方程式（基本変形，階段行列，階数，正則行列，逆行列，連立一次方程式の解法，一次独立性，*解の構造）【6-8週】
4. #行列式（行列式の定義と性質（基本変形，積，転置との関係，置換と符号），行列式の展開，クラメルの公式）【1-2週】
5. フィードバック【1週】

*のついた項目は，時間の余裕があればふれるものである．
#のついた項目は，授業の進度によっては，一部もしくは全部を後期に扱うものとする．
上記のトピックスの講義とともに，それに関連した問題演習(授業中の演習または宿題)を行う．

同一クラスの線形代数学B［文系］を併せて履修すること．高校での文系の数学，特に平面ベクトル，空間ベクトルを理解していることを前提とする．

主として定期試験により成績評価を行うが，問題演習，宿題，小テストなどの平常点を成績評価に加えることもある．定期試験と平常点の割合は各教員が周知する．

数学を学ぶには，予習、復習とともに演習問題を自分で解いてみることが必要です．

コンピューターの急速な進歩により，様々な社会現象や自然現象を種々の数理的手法により分析することが可能となり，その重要性が高まっている．そのような数理的手法を学ぶための基礎として，文系学生向けに線形代数学に関する基礎的内容を講義する．
授業では高校の理系数学（高校 数学III）を前提とはせず，高校の文系数学のみを履修した学生にも内容を理解できるように講義を行う．
線形代数学A［文系］では，ベクトルと行列に関する基礎的事項を学ぶ．

線形代数学A［文系］ではベクトルや行列，連立一次方程式の具体的な取り扱いに習熟することを目的とする．

次の内容について解説する予定である．授業回数はフィードバックを含め全15回とする．各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく，担当者の講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて，講義担当者が適切に決める．主として実ベクトル，実行列を扱う．

1. 平面ベクトルと2次行列
（平面ベクトルと行列の計算，内積，逆行列，ケーリー・ハミルトンの定理，平面の一次変換（回転，鏡映），連立一次方程式と行列，行列式）【3-4週】
2. ベクトル・行列の演算（一次結合，和，スカラー倍，積，線型写像と行列) 【2-3週】
3. 基本変形と連立一次方程式（基本変形，階段行列，階数，正則行列，逆行列，連立一次方程式の解法，一次独立性，*解の構造）【6-8週】
4. #行列式（行列式の定義と性質（基本変形，積，転置との関係，置換と符号），行列式の展開，クラメルの公式）【1-2週】
5. フィードバック【1週】

*のついた項目は，時間の余裕があればふれるものである．
#のついた項目は，授業の進度によっては，一部もしくは全部を後期に扱うものとする．
上記のトピックスの講義とともに，それに関連した問題演習(授業中の演習または宿題)を行う．

同一クラスの線形代数学B［文系］を併せて履修すること．高校での文系の数学，特に平面ベクトル，空間ベクトルを理解していることを前提とする．

主として定期試験により成績評価を行うが，問題演習，宿題，小テストなどの平常点を成績評価に加えることもある．定期試験と平常点の割合は各教員が周知する．

数学を学ぶには，予習、復習とともに演習問題を自分で解いてみることが必要です．

力学的運動のみならず、電磁気的現象など自然界のさまざまな分野に共通して登場する振動・波動の基礎について講義する。

自然界に現れる振動・波動現象の基礎的理解を通して、様々な物理現象について考察する能力を養う。

単振動より始めて、減衰振動および強制振動を扱い、自由度が２の場合の連成振動を考察する。次に、一般の自由度の基準振動モードと基準座標について学ぶ。さらに、連続体の振動とそれを記述する波動方程式を述べ、その解の性質や固有振動を取り扱う数学的方法としてのフーリエ級数展開を論じる。これらをもとに波の重ね合わせや干渉・回折等の波の性質について考察する。授業内容・項目は以下の通り。授業回数はフィードバックを含め全15回とし、各項目について2~3回の講義を行う.

１. 単振動
単振動の方程式と解，調和振動子のエネルギー

２. 減衰振動と強制振動
減衰振動，強制振動,　共鳴

３. 連成振動
連成振動(自由度２)，モードと基準座標, 連成振動(自由度N)のモード，分散関係

４. 連続体の振動
弦の振動，弾性体の振動，波動方程式，フーリエ級数，固有振動

５. 波動
ダランベールの解，位相速度と群速度, 反射と透過, 平面波・球面波

６. 電磁波
マクスウェル方程式と電磁波, 反射と屈折, 干渉と回折

受講者は物理学基礎論A,Bを履修していることが望ましい。

レポート課題（50点）およびPandA上で実施するオンラインテスト（50点）によって評価する．

教科書、参考書については担当教員から指示があるので、各単元ごとに予習・復習をすること。

力学および電磁気学の基礎的知識を前提とする。